近日，纽约大学副讲解王虹与加拿大不列颠哥伦比亚大学副讲解扎尔（Joshua Zahl）在预印本网站上贴出一篇证明“三维挂谷料想”的论文，激荡了整个这个词数学界。这项责任过于紧迫，两位作家又很年青泰國 人妖，有经验竞争来岁的菲尔兹奖，（王虹以至2030年皆有契机，）以至于这个话题出圈到数学界之外，激发烧议。

王虹在北大数学110周年学友论坛期间参加交流 （图源：BICMR网站）

扎尔（图源：Quanta杂志）

挂谷料想是数学界互助与交流的表率。一代代的数学家把来自不同限度的想想和模范引入到对挂谷料想的研究当中，互助攻克了一个又一个难关，终于带来了阶段性的重要打破。这其实才是数学研究的常态，而非人人心目中在书房内单枪匹马。

挂谷料想是什么？

挂谷料想的历史需要从与之相关的“挂谷转针问题”讲起。1917年，日本数学家挂谷宗一冷漠了这样一个问题：把一条长度为1的线段在平面上迁徙，使其办法旋转360°，那么这条线段扫过的最小面积是些许？

容易发现，要是线段只是绕着一个固定的轴心旋转，那么扫过的面积最小是π/4。但是，线段在这也曾过中完全不错平移。挂谷宗一找到了一个例子，其中线段扫过的面积是π/8。挂谷和其他一些数学家皆猜测这就是最小面积。（挂谷率先的问题里可能要求扫过的图形是凸集，但笔者无法找到原始文件加以说明。加上凸集要求后，匈牙利数学家帕尔（Julius Pal）证明面积最小的是高为1的正三角形。）

挂谷宗一发现的例子（图源：维基百科）

自后另外一位数学家矢野健太郎在神色这一问题时，领受了如下模式。（图片出自单墫讲解所著《十个真义的数学问题》。）

这个不讲武德的故事给东谈主以深刻印象，从而流传很广。可见，选拔一个天真真义的形式来晋升数学是何等紧迫！

挂谷转针问题很快引起了国际关注。1925年，其时好意思国数学界首脑伯克霍夫（George Birkhoff）在书中将这一问题跟知名的四色料想是非不分。

比挂谷宗一稍晚，1919年，俄国数学家贝西科维奇（Abram Besicovitch）在研究二重积分的时候，冷漠了一个近似的问题：要是平面上的一个点集在每个方朝上皆包含一条长为1的线段，那么这个点集最小的“面积”是些许？这里的“面积”在数学中其实有一个更严格的术语，称为“测度”（measure）。贝西科维奇所磋议的点集，跟挂谷宗一所磋议的相配相似，仅有的分手是，贝西科维奇并不需要线段能够在点陆续通顺地动掸。贝西科维奇用了一个相配奥密的模范，构造出了满足要求的测度为0的点集。

其时俄国处于战乱之中，跟国际交流未便，是以贝西科维奇并不知谈挂谷转针问题。他的责任发表在彼尔姆国立大学物理数学学会的学报上，外界也很难获取。1924年贝西科维奇外侨至西方，在那之后才传闻了挂谷转针问题。他把我方原来的构造略加修改，加上帕尔的想法，构造出了面积不错淘气小的能让长度为1的线段在其中旋转360°的图形，从而处置了挂谷转针问题。

是的，挂谷原先冷漠的转针问题已经被贝西科维奇完全处置了。在高维空间中也不错提近似的问题，但谜底并莫得内容的分手。现在数学家所研究的“挂谷料想”，其实是一个全新的问题。在这一丝上，近渴望多报谈皆犯了造作。

要是一个点集在每一个方朝上皆包含一条长度为1的线段，那么这个点集就被称为挂谷集聚（Kakeya set）。细心这里不要求线段能够通顺动掸，跟挂谷最早研究的点集不太一样。是以许多东谈主也把它称为贝西科维奇集聚（Besicovitch set）。雷同的界说也不错蔓延到高维空间。

左证贝西科维奇的终结，挂谷集聚的测度最小不错是0，这个论断在高维空间中雷同正确。

但是数学家们并不悦足，他们进一步问：挂谷集聚的维数是些许？在数学上，对于挂谷集聚这类“歪邪”的图形，有好几种模范界说其“维数”，取值不错不是整数，即分形维数。常用的分形维数有豪斯多夫（Hausdorff）维数和闵可夫斯基（Minkowski）维数。数学家猜测，n维空间中挂谷集聚的（豪斯多夫或者闵可夫斯基）维数一定是n。这就是挂谷料想（Kakeya Conjecture），又称为挂谷集聚料想（Kakeya Set Conjecture）。不外，就像许多数学名词一样，这个料想天然冠以挂谷的名字，但跟挂谷的研究已经莫得径直关系了。

挂谷料想标明，尽管挂谷集聚的测度不错是0，但挂谷集聚仍然“很大”。这在一定进度上顺应挂谷率先的直观，只是挂谷领受“面积”来预计挂谷集聚该有多大这一丝是不正确的。

挂谷料想为什么紧迫？

挂谷料想是几何测度论这门数学分支里的中枢问题之一。希尔伯特也曾说费马大定理是一只会下金蛋的鹅，这是因为对费马大定理的研究极地面推进了代数数论的发展。雷同的评价也不错用在挂谷料想上。

挂谷料想不是一个孤苦的问题，而是一系列近似问题中的一个，这些问题统称为“挂谷类型问题”。对其中一个问题的打破不时会带来其它问题上的弘扬。

挂谷料想跟和谐分析里最中枢的几个问题密切相关，在偏微分方程妥协析数论里也有应用。和谐分析是由对傅立叶级数和傅立叶变换的研究发展起来的一门数学分支。它跟偏微分方程、数论、暗示论、组合数学等多个数学分支皆有深刻磋议，况且在信号处理、图像压缩等方面里有着平常应用。咱们日常上网看到的多量图像、视频，其背后皆有和谐分析的功劳。（更多对于应用和谐分析的先容可参见《象牙塔中的另类数学家：沃尔夫数学奖第一位女性得主英格丽·多贝西》一文。）

早在1919年，贝西科维奇研究挂谷集聚的初志就是为了处置一个跟二重积分相关的问题，这预示着挂谷集聚势必会跟和谐分析磋议起来。和谐分析里最基本的问题是傅立叶级数和傅立叶变换什么时候管制，以及在什么兴味兴味下管制。在六十年代有一个知名的“圆盘料想”，对于傅立叶级数和傅立叶变换的博赫纳-里斯平均（Bochner-Riesz mean）的管制性作出了瞻望。关联词，1971年，费弗曼（Charles Fefferman，1978年菲尔兹奖得主）利用挂谷集聚构造出了圆盘料想的反例。这在其时是一个出乎预见的终结，连费弗曼我方皆暗示诧异。

费弗曼的论文发表在《数学年刊》上，其中迂回一步使用了坎宁安（Frederic Cunningham， Jr.）刚刚发表在《好意思国数学月刊》上的一篇对于挂谷转针问题的论文。《数学年刊》是数学界最佳的专科杂志，《好意思国数学月刊》则是一份面向高中生、大学生、数学老师和数学疼爱者的晋升性刊物，主要刊登初等数学和数学训诲方面的著述。许多专科数学家大概会对《好意思国数学月刊》不屑一顾，但在这个例子里，《好意思国数学月刊》上发表的论文也为最顶级的数学效用提供了坚实的基础。

算作对圆盘料想的修正，数学家们冷漠了博赫纳-里斯料想。要是挂谷料想不正确的话，那么用费弗曼雷同的模范就能构造出博赫纳-里斯料想的反例。也就是说，博赫纳-里斯料想蕴含挂谷料想！

雷同领受费弗曼的模范，东谈主们发现傅立叶变换的汗漫料想蕴含挂谷料想。汗漫料想是和谐分析里最紧迫的问题，它研究的是一个函数的傅立叶变换什么时候不错界说在n维空间的一个低维子集上。表面上说，不错通过证明汗漫料想来证明挂谷料想。不外，包括陶哲轩（2006年菲尔兹奖得主）在内的许多巨匠皆觉得，要想证明汗漫料想，必须先证明挂谷料想。

1999年，陶哲轩证明博赫纳-里斯料想蕴含汗漫料想。还有一个相关联的料想是波动方程的局部光滑化料想，它蕴含博赫纳-里斯料想。是以挂谷料想、汗漫料想、博赫纳-里斯料想、局部光滑化料想，这四个料想是一个层层递进的关系：挂谷料想居于最基础的地位，越往后的料想越强。

挂谷料想的基本的紧迫性还体现在布尔甘（Jean Bourgain，1994年菲尔兹奖得主）的始创性责任中。布尔甘在1991年发现，从某些挂谷类型料想也能在一定进度上推出汗漫料想。这方面自后又有一系列效用，最新弘扬是在2024年末，王虹和吴澍坤冷漠了一个新的挂谷类型料想，并证明这个料想蕴含汗漫料想。

布尔甘与陶哲轩一同领取2012年克拉福德奖（图源：Crafoord Foundation）

布尔甘对挂谷料想作念了多量奠基责任。他率先把加性组合学（additive combinatorics）引入到对挂谷料想的研究之中。自后他与互助者们所得到的和-积猜测（sum-product estimate）更成为研究包括挂谷料想在内的一无数问题的紧迫用具。（布尔甘证明了实数域上的和-积猜测，有限域上的和-积猜测是险些同期由布尔甘、卡茨（Nets Katz）与陶哲轩证明的。）

对于布尔甘与挂谷料想，还有一个小故事。1989年，萨纳克（Peter Sarnak）和布尔甘恰巧同期探询加州理工学院，这是两东谈主第一次碰面。萨纳克是通晓数论巨匠，布尔甘便要萨纳克给他一个有挑战性的数论问题，好让我方“在数论上得分”。萨纳克告诉布尔甘一个蒙哥马利（Hugh Montgomery）1971年冷漠的料想，这个料想能够推出对于黎曼 ζ -函数零点散布的“密度假定”。布尔甘很快就发现蒙哥马利原来的料想是错的，需要加以修正。他还指出，修正后的料想能推出挂谷料想。

这真的让东谈主出东谈主预见的磋议！无人不晓，数学中最知名的难题大概是黎曼假定，说的是黎曼 ζ -函数的非粗豪零点的实部皆是1/2。黎曼假定有许多现实，其中之一就是密度假定，瞻望的是零点的虚部的散布法例。而 ζ -函数零点的散布法例跟素数散布互相关注，举例从密度假定能推出相邻素数之间距离的一个猜测。

挂谷料想，这个率先由平面上转针启发出的数学问题，居然跟信号处理、图像压缩、以至素数散布皆能拉上关系，这恰是数学的一大奇妙之处。

挂谷料想的历史弘扬

挂谷料想的二维情形在1971年由戴维斯（Roy Davies）证明。这个证明相配初等，也相配短，唯有13行。

其后挂谷料想的第一个重要弘扬出现在1995年，沃尔夫（Thomas Wolff）证明n维空间中挂谷集聚的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数至少是(n+2)/2。当n=""""3时，这说明挂谷集聚的维数至少是2.5。沃尔夫的下界(n+2)/2自后又在高维被布尔甘等东谈主校正，不外在n="3时的校正皆不大。

【东谈主物简介】沃尔夫是二十世纪八九十年代最有影响的分析学家之一，曾两度在国际数学家大会上作叙述。他厄运于2000年因车祸示寂，年仅46岁，正处于创造岑岭期。沃尔夫跟比尔·盖茨是大学同学兼牌友。是以沃尔夫示寂后，盖茨给沃尔夫责任的加州理工学院数学系捐赠了一笔钱以驰念他。

沃尔夫（图源：加州理工学院网站）

2000年，卡茨、拉巴（Izabella Łaba）和陶哲轩证明了三维空间中挂谷集聚的闵可夫斯基维数至少是2.5000000001。这看起来只是对沃尔夫的终结的一丝渺小的校正，但却是一个表面上的巨猛弘扬，因为它打破了沃尔夫公理的汗漫。受到这一效用的启发，卡茨跟陶哲轩产生了新的想路，互助研究了许多年，却没能取得实质性弘扬。陶哲轩说：“Nets（卡茨）和我多年来一直在非矜重地斟酌这个问题，但恒久未能得出令东谈主甘心的定理，以至连部分终结皆未能得到。”

于是，2014年，陶哲轩在博客上发表长文，公布了他们的想法，但愿能给更多东谈主以启示，参与到挂谷料想的研究之中。卡茨和陶觉得，要是三维挂谷料想有反例，那么这个反例应该有黏连性（sticky）、平面性（plany）、鳞片状（grainy）这三种性质，然后大概不错用布尔甘的和-积猜测来证明这三种性质不行共存。卡茨和陶的这一提要为接下来十年的责任指明了办法。

【东谈主物简介】卡茨小时候是又名神童，20岁便获取博士学位。（算作对比，另外一位无人不晓的神童陶哲轩是21岁获取博士学位。）他乍一看有些乖癖，不外却颇具幽默感。他办公室门上历久贴着一张海报，上头是他的像片以及几幅喵星东谈主的图，配有笔墨“We love Katz!”笔者见到好几篇先容挂谷料想的英文著述皆配有猫图，可能皆是用雷同的谐音梗。

卡茨（图源：Elizabeth Housworth的个东谈主网站）

这里相配值得一提的是，陶哲轩并未藏私，而是把他们未锻练的想法公布出来，让全全国的同业皆不错使用他们的想法来作念研究。他以至不是以论文模式发表在期刊上，而是只是发了一篇博客。近似的作念法在数学界其实并不稀有。对于陶哲轩这样隧谈的学者而言，发表一篇两篇所谓顶刊论文莫得那么紧迫，紧迫的是拓展东谈主类学问的鸿沟。在他们看来，同业之间不应当是你死我活的竞争关系，而应该一谈互助交流，共同促进数学的发展。

事实上，挂谷料想的研究很猛进度上收获于不同数学限度想想之间的碰撞，而在这碰撞中出身的新模范，又反哺到了其他限度。这方面的一个例子就是多项式模范。

1999年，沃尔夫冷漠了有限域上的挂谷料想。这是一个纯代数里的组合问题，沃尔夫但愿能够通过处置这个问题带来新的启发。2008年，又名诡计机专科的博士生德维尔（Zeev Dvir）处置了有限域上的挂谷料想。他的证明相配随性，唯有两页，使用的是表面诡计机科学里常用的多项式模范。但是，正本的挂谷料想波及的是实数，怎么把有限域上的论证搬到实数域上仍然是一个挑战。

有限域上的挂谷料想的处置是其时数学界一大激荡事件，引起许多东谈主关注，这其中有一位几何学家拉里·古想（Larry Guth）。只是几个月后，古想使用代数拓扑里一个很基本的定理，告成地将多项式模范专揽到了实数域上，并以之证明了陶哲轩等东谈主冷漠的“多线性挂谷料想”的端点情形。在这一类问题中，端点情形的猜测是非常清贫、相配稀有的。古想自后又使用多项式模范在正本的挂谷料想上也获取了紧迫弘扬。

多项式模范还被古想和卡茨等东谈主多量地专揽在组合几何中，处置了许多难题，包括埃尔德什（Paul Erdős）1946年冷漠的“不同距离问题”。如今多项式模范断然成为和谐分析和组合几何里的一个主流用具，蔚为大不雅。

【东谈主物简介】拉里·古想的父亲阿兰·古想（Alan Guth）是六合暴涨表面的首创东谈主，父子俩皆是麻省理工学院的学友兼讲解。拉里·古想的博士导师是拓扑学家姆罗夫卡（Tomasz Mrowka），但他的博士论文主题却是对于度量几何，跟导师的研究限度不尽相通。（姆罗夫卡是笔者在麻省理工学院期间的博士后导师，从这点来说，古想跟笔者在学术谱系上还有极少亲缘关系。）他早期在度量几何、辛几何、低维拓扑等限度皆作念出过一流的责任。借助着多项式模范上的打破，他把我方擅长的几何与拓扑模范专揽到新的限度，在和谐分析、组合几何、通晓数论等数学分支均作念出了创新性的孝顺。

古想（图源：x.com）

围绕着挂谷料想以及相关问题，和谐分析在夙昔三十年里取得了长足的高出，暴露出来一无数优秀的学者。仅在2007年前后过问大学的中国和谐分析学家里，就有郭少明（北邮06级）、杜秀敏（浙大07级）、王虹（北大07级）、欧雨濛（北大07级）、张瑞祥（北大08级）等东谈主。他们相互之间有多量的互助。以王虹为例，她咫尺完成的三十多篇科研论文里，除了一篇独作，其余皆是跟东谈主互助。她的互助者中，有上一代的古想、拉巴、德梅特尔（Ciprian Demeter）等东谈主，有同辈的一无数中外数学家，也有咫尺还在读博的任开元（Kevin Ren）这样的学术新东谈主。这其实亦然现在数学研究的一个趋势，越来越多的论文是互助完成，尽管怀尔斯（Andrew Wiles）、佩雷尔曼（Grigori Perelman）和张益唐那样的孤胆英杰长久皆会存在。

张寿武讲解在评价北大数学“黄金一代”时，曾说：“猛烈就猛烈在他们不是一个东谈主，而是一批东谈主，他们有什么东西不懂，就立时打电话给同学，同学亦然另一瞥的妙手，立时就知谈是何如回事了，他们之间不是互相竞争者，而是互助者。”我想雷同的评价对于王虹这一代和谐分析学家亦然竖立的。

在包括古想、卡茨、陶哲轩在内的许多数学家的共同英勇之下，卡茨-陶提要里的诸多清贫逐一被克服，许多原先隐晦涂糊的设计获取长远，新的模范和用具被创造出来，旧有的本领被校正。最大的一个打破来自2022年，王虹和扎尔证明了黏连性的三维挂谷集聚的维数势必是3，而“黏连性”是卡茨-陶提要里三种性质中最难处理的一种。

终末的助攻来自二维挂谷类型问题的一系列弘扬，以及新修复的“迭代”模范。据张瑞祥讲解先容，近期最主要的打破包含在四篇论文里，作家包括Tuomas Orponen、任开元、Paolo Shmerkin、王虹，其中王虹是三篇论文的共同作家。最终，王虹和扎尔在2025年2月24日上传论文，证明三维挂谷集聚的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数皆是3，从而晓谕处置了三维挂谷料想。

回归挂谷料想的历史，咱们不错看到，夙昔三十多年好几代数学家参与其中，不同配景的数学家引入了来自代数、组合、几何、拓扑、以至诡计机科学的想想，才种植这一限度如今的兴盛。要是王虹和扎尔的论文正确，最大的荣誉天然属于他们，但这一证明的告成也离不开数学界的密切互助与深入交流。

王虹与扎尔对三维挂谷料想的证明是否正确？

王虹与扎尔的论文长达127页，本领性相配强，要通过审核少说也得几个月时期。笔者并非这一限度的巨匠，莫得才能检修证明，不外从各种迹象看，该证明正确的可能性绝顶大。

王虹与扎尔皆是这一限度的顶级巨匠，有着极其优秀的发表记录。两东谈主皆师出名门，跟限度内最出色的数学家们关系密切。王虹是古想的学生，在加州大学洛杉矶分校跟陶哲轩作念过两年共事。扎尔是陶哲轩的学生，古想的博士后，跟古想和卡茨皆有许多互助。他们参与了连年来相关挂谷料想最紧迫的一些打破。他们对挂谷料想的研究，以至超越了古想、卡茨、陶哲轩这些成名的巨匠。

这篇论文已经获取了同业巨匠的高度认同。公布预印本之前，两名作家将初稿寄给了许多业内的顶级巨匠筹备想法，包括古想、卡茨、陶哲轩这些对挂谷料想作念出紧迫孝顺的东谈主皆给出了指摘和建议。从这点来看，论文应该莫得显著的问题。预印本上网后，陶哲轩第一时期在酬酢媒体上发文晓谕三维挂谷料想获证，况且在个东谈主博客上发表长文先容证明的基本想路。他的措辞相配乐不雅，径直晓谕三维挂谷料想已经被王虹与扎尔证明，以至莫得加上“证明尚待检修”之类的话。对于陶哲轩这样严谨的数学家来说，这标明他相配深入地审读了该论文，对其正确性有很高的信心。

王虹会不会获取菲尔兹奖?

王虹会不会获取菲尔兹奖?这就怕是汉文互联网上对于挂谷料想民众最关注的一个问题。

菲尔兹奖四年颁发一次，每次最多发四个东谈主，年岁还不行高出40岁。有这样多汗漫要求，再磋议到数学里起码有二十个活跃的分支，谁能得菲尔兹奖其实有一定的随机性，受评委会的东谈主员构成影响很大。每个评奖周期里，少说也有二三十名数学家有经验获奖，终末发给谁不发给谁皆很正常。菲尔兹奖历史上，学术建立达到菲尔兹奖圭臬却未能获奖的大有东谈主在，举例王虹的导师古想。是以现在断言王虹势必获奖为前锋早。

不外，笔者服气王虹获奖的可能性是非常大的。笔者完全是和谐分析限度的外行人，但看到王虹和扎尔论文的第一响应就是：这完全是菲尔兹奖级别的效用。挂谷料想是数学中知名度最高的问题之一。笔者高中时就读过单墫讲解对于挂谷转针问题的科普，博士阶段就传闻过挂谷料想。连年来，挂谷料想的每一个猛弘扬皆会成为数学界的新闻，而陶哲轩这样的明星数学家也频繁在我方博客上发表相关著述。

另一方面，挂谷料想的难度之高亦然民众公认的。即就是布尔甘和陶哲轩这样的菲尔兹奖得主，以及沃尔夫、古想和卡茨这些处置过繁多难题的巨匠，对挂谷料想研究多年，也只是取得部分弘扬。这皆增多了该料想算作一个清贫问题的名声。

笔者近日来与一些同业聊天谈到三维挂谷料想，这些东谈主里有分析限度的巨匠，也有研究限度跟和谐分析相去甚远的，有和王虹十分亲近的一又友，也有跟她萍水重逢的东谈主，有中国东谈主，也有西洋东谈主士，但民众一致觉得王虹会拿到菲尔兹奖。

早在两年前，王虹就已经被公觉得和谐分析新一代中最特出的数学家，莫得之一。除了跟扎尔互助的对于挂谷料想的责任除外，王虹还跟古想、伊奥塞维奇（Alex Iosevich）和欧雨濛等东谈主互助在二维福尔克纳（Falconer）距离问题上取得重要打破，并跟任开元互助完全处置弗斯滕伯格（Furstenberg）集聚料想。客岁，久负有名的法国国际高级科学研究院（IHÉS）给王虹发了终生讲解聘书。自1958年竖立以来，IHÉS总计有12名数学限度的终生讲解，其中7东谈主拿到菲尔兹奖，即便没拿到菲尔兹奖的也皆是公认的巨匠。由此可见国际数学界对王虹的高度评价。不错说，就算莫得证明三维挂谷料想，王虹也会是菲尔兹奖的主要候选东谈主之一，而三维挂谷料想的证明无疑为她竞争菲尔兹奖加上了最重的一枚砝码。

天然，确凿决定谁获取菲尔兹奖的照旧菲尔兹奖评委会。但是，评委会一定会相配细密地磋议王虹的情况，而且和谐分析界也势必会全力复旧她。算作和谐分析年青一代最特出的代表，要是王虹能获取菲尔兹奖，将象征着整个这个词数学界对该限度所取得建立的认同，为挂谷料想这个世纪难题增添新的传奇。

【补记】在本文接近脱稿之际，数学界又传出一个重要效用：芝加哥大学的邓煜与密歇根大学的哈尼（Zaher Hani）和马骁在预印本网站上贴出论文，晓谕处置了狭义的希尔伯特第六问题。其中邓煜跟王虹是北大数学07级同学，哈尼则跟扎尔于兼并时期在陶哲轩门下读博。（王虹大二转入数学系，邓煜则在大三转学去麻省理工学院，两东谈主有一年杂乱。哈尼2007—2011年在加州大学洛杉矶分校读博，扎尔则是2008—2013年。）要是两篇论文均正确泰國 人妖，那么就是这两对同窗在一周内各自公布了划期间的效用，号称一段佳话。

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